Κατάγεται από την Πάτρα, και με τη βοήθεια του πατέρα του, φιλολόγου και συγγραφέα, σπούδασε στην Ιατρική του Μονπελιέ. Έφυγε από την Πάτρα για το Μπρίντεζι, κι από κει μέσα σε ελάχιστο χρόνο βρέθηκε στα έδρανα της ιατρικής σχολής του πανεπιστημίου της πόλης. Ολοκλήρωσε το διδακτορικό του στα 24 του χρόνια, και από εκεί γνώρισε σε ένα συνέδριο έναν καθηγητή από το Πανεπιστήμιο της Γενεύης, ο οποίος του πρότεινε να εργαστεί μαζί του. Ο Αναστάσιος Σπηλιόπουλος αποδέχθηκε την πρόταση δύο χρόνια πιο μετά, θέλοντας να ολοκληρώσει πρώτα τη θητεία του στην Ελλάδα. Σε ηλικία 30 ετών είχε τη θέση του διευθυντή στο Πανεπιστήμιο της Γενεύης.
Για ένα διάστημα μετακόμισε στη Βοστόνη, όπου ακολούθησε ειδίκευση στη θωρακοχειρουργική, και επέστρεψε τελικά στη διεύθυνση της πανεπιστημιακής θωρακοχειρουργικής κλινικής. Ο ίδιος, σύμφωνα με το ethnos.gr, υποστηρίζει πως έχει περάσει περισσότερες ώρες στο χειρουργείο παρά στο κρεβάτι του, με προσωπικό ρεκόρ τις 6 μεταμοσχεύσεις σε ένα Σαββατοκύριακο. Το 1993 έκανε την πρώτη μεταμόσχευση πνευμόνων στην Ελβετία, ενώ φαίνεται ότι ακολούθησε τα χνάρια του παππού του, ο οποίος το 1889 έχτισε το νοσοκομείο της Πάτρας με δικά του χρήματα, και τιμήθηκε τότε από τον Γεώργιο τον Α΄ με το παράσημο του Τάγματος του Σωτήρα.
Κάποτε, ο Αναστάσιος Σπηλιόπουλος συναντήθηκε με τον αείμνηστο πολιτικό Θανάση Κανελλόπουλο, όταν ο τελευταίος είχε μεταβεί στη Γενεύη για λόγους ιατρικούς. «Ήταν ένας πανέξυπνος άνθρωπος, που μιλούσε πολλές γλώσσες», θυμάται ο ίδιος. «Με ρώτησε, λοιπόν, γιατί δεν επιστρέφω στη χώρα μας», και τότε, του απάντησα: «Μήπως φταίτε εσείς οι πολιτικοί που δεν γυρίσαμε ποτέ στην Ελλάδα; Εγώ δεν ήθελα να μείνω υποχρεωτικά εδώ, αλλά μου προσέφεραν αυτό που κανείς δεν μου πρότεινε στη χώρα μου, παρά τις προσπάθειες που έκανα… Ξέρετε, στα 30 μου, ήμουν ήδη υπεύθυνος του τομέα μεταμοσχεύσεως νεφρών στο Νοσοκομείο της Γενεύης και στα 37 μου ανέπτυξα για πρώτη φορά στην Ελβετία το Πρόγραμμα Μεταμοσχεύσεως Πνευμόνων».
Ο κ. Σπηλιόπουλος έρχεται στην Ελλάδα περίπου έξι φορές τον χρόνο και πηγαίνει στο «καταφύγιό» του, έξω από την Πάτρα, στο Καστρίτσι, μαζί με τις δυο του κόρες και τα πέντε εγγονάκια του.
